TEOREMA DE GREEN

Objetivos

 Comprender, analizar y realizar integrales de línea utilizando el teorema de Green.

Introducción 

El teorema de Green se ha logrado relacionar estrechamente con las integrales y es que la aplicación de este se basa en el cálculo integral. El teorema de Green es uno de los cuatro teoremas más importantes en la culminación del cálculo multivariable. Este teorema se hace referencia a un proceso de cálculo que permite obtener una función a partir de su derivada.

Las integrales, como se sabe son utilizadas para el cálculo de áreas y volúmenes de sólidos. En el año 1828, un científico británico de nombre George Green, hizo uso de las integrales, para demostrar la aplicación del análisis matemático en lo que conocemos como las teorías de la electricidad y el magnetismo. De esta manera, se le hizo posible formular lo que conocemos con el nombre de teorema de Green. 

  Fundamento Teórico 

 El teorema de Green relaciona una integral doble sobre una región del plano con una integral curvilínea, sobre la frontera de la región. 

Sea C una curva descrita por una función vectorial continua α : [a, b] →R^n. 

Si α(a) = α(b) se dice que c es cerrada.

Si α(t1) 6= α(t2) ∀ t1, t2 ∈ (a, b] se dice que c es cerrada simple. 

Una curva cerrada C que es frontera de una región elemental tiene dos orientaciones: 

 * La contraria al sentido de las manecillas del reloj (positiva) 

 * La del sentido de las manecillas del reloj (negativa) 

De forma que C se demostraría de la siguiente manera de forma antihorario " C+ " y horario.  "C-".

Fuente: https://es.khanacademy.org/math/multivariable-calculus/greens-theorem-and-stokes-theorem/greens-theorem-articles/a/greens-theorem

Teorema de Green Sea S una región simplemente conexa con un borde C (suave) orientado positivamente. Si el campo vectorial F(x, y) = M(x, y)ˆi + N(x, y))ˆj es continuamente diferenciable en R tenemos que:

El Teorema de Green también es válido para regiones que se pueden descomponer en varios trozos, cada uno de los cuales es simple. Por ejemplo si la región D es un anillo y su frontera consiste en dos curvas 

C = C₁ + C₂ 

Fuente:http://fcm.ens.uabc.mx/~chelo/analisis%20vectorial/nucleos/capitulo5/l6-1ab.htm

Si se aplica el Teorema a cada una de las regiones D₁, D_{2 ,} D₃  y D₄ y se suman los resultados, se obtiene la identidad dada por el teorema de Green para D y su frontera C. El resultado es válido porque las integrales a lo largo de las líneas interiores opuestas se cancelan entre sí.

El Teorema de Green es muy útil porque relaciona una integral de línea a lo largo de la frontera de una región con una integral de área sobre el interior de la región o viceversa:

Podemos usar el teorema para obtener una fórmula para calcular el área de una región acotada por una curva cerrada simple

EJEMPLOS

*Mientras está bajo la acción de una fuerza, una partícula d una vuelta a la circunferencia de radio 3 que se muestra en la figura, usar el teorema de Green para hallar el trabajo realizado por la fuerza.

* Usar el Teorema de Green para calcular la integral de línea \(\int_{c}y^3dx+(x^3+3xy^2)dy\) donde C es el camino de (0,0) a (1,1) sobre la gráfica \(y=x^3\) y de (1,1) a (0,0) sobre la gráfica \(y=x\).

GRÁFICA 

BIBLIOGRAFÍAS

J. Bonet, A. Peris, V. Calvo, F. R´odenas. Integraci´o m´ultiple i vectorial. Editorial UPV.

ISBN: 84-8363-048-6.

James Stewart. C´alculo de varias variables. Conceptos y contextos, 4e. ISBN: 607-481-238-1.

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http://www.ehu.eus/~mtpalezp/libros/07_1.pdf

http://sistemas.fciencias.unam.mx/~erhc/calculo4_20172/green_2017.pdf

https://es.khanacademy.org/math/multivariable-calculus/greens-theorem-and-stokes-theorem/greens-theorem-articles/a/greens-theorem-examples

http://www.mat.ucm.es/~dazagrar/docencia/cap11.pdf

Análisis Matemático III - Eduardo Espinoza Ramos - 3ed.pdf